下面是我整理的一些自己學習數(shù)學的經(jīng)驗，在必要的時候我會結(jié)合具體例子來談，希 望不會讓人覺得枯燥。提到推薦用書，除了經(jīng)典的兩個方案，其實還有一套：《大學數(shù)學――概念、方 法與技巧》，上冊為高等數(shù)學部分，下冊為線性代數(shù)與概率統(tǒng)計部分。清華大學出 的，非常不錯，我在圖書館借到過，但不能確定現(xiàn)在是否還在。個人覺得這套書，或 者燈哥的，或者二李的，三選其一就足夠了�？佳袛�(shù)學主要考查：基本概念、運算能力、綜合分析的思維方法。而我們平時的 學期考試基本只涉及前兩部分。先講基本概念。
在接觸輔導(dǎo)書之前最好先過一遍教材，以便大致有個了解，最好結(jié)合考綱，這樣 有針對性。
06年的大綱要暑假時才出，先借05年的來看吧，數(shù)學不像政治那樣一年一 變，九成以上的東西是不會變的。同濟版《高等數(shù)學》、浙大版《概率論與數(shù)理統(tǒng) 計》大家應(yīng)該都有，至于線代，我們本科學習時用的線代教材是同濟版《線性代 數(shù)》，但不推薦，因為這本書過于抽象干澀，建議用北大版《高等代數(shù)》（上冊）代 替�？唇滩臅r，所有定理的證明都可以跳過，比如第一章極限，看上去就讓人頭暈的 “ε―δ”語言是數(shù)學系的同仁作的工作，不用管它，你只需要看到一個初等函數(shù)后會用 “代入法”求其在某一點的極限就可以了，書上有很多東西寫得很詳細，看的時候要 抓主要矛盾，有所取舍，具體說起來就是著重考綱中要求為“理解”和“掌握”的部 分。
但因為了解過程也有助于記憶結(jié)論，所以如果時間允許，也可以大致了解一下重 要定理的證明思路。不管看不看過程，最終的目的只有一個：記得公式和定理。不同 于高考，考研數(shù)學要求記憶的知識點非常多，所以必須要像學習英語單詞那樣時�；� 憶，加深印象。
記得知識點以后要做什么？自然是用于解題。
這時候就出現(xiàn)了一個值得注意的問 題，那就是定理和公式成立的條件，還是拿上面這個例子來說，函數(shù)能夠代入某點的 取值來求極限的條件是什么？那就是這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，雖然說我們碰到的大部分 函數(shù)都是連續(xù)的，但最好還是不要想當然。類似的例子還有很多，而且就我個人的經(jīng) 驗以及和以前一起復(fù)習的同學交流的情況來看，很多人容易忽視這個環(huán)節(jié)。連續(xù)函數(shù) 的若干性質(zhì)，如最大值最小值定理、零點定理等，都是指的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性 質(zhì)；中值定理那一章節(jié)里，很多定理成立的條件都是所給函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū) 間上可導(dǎo)；應(yīng)用得非常多的格林公式和高斯公式成立的條件是對應(yīng)的閉合曲線或閉合 曲面所包圍的區(qū)域內(nèi)不含奇點，在所求積分區(qū)域不閉合時要用補線或補面的方法，當 有奇點時要想辦法把單連通區(qū)域轉(zhuǎn)化成多連通區(qū)域，使得對應(yīng)的多連通區(qū)域不含奇點 后才能應(yīng)用相應(yīng)的定理。強烈建議大家在復(fù)習過程中自己多總結(jié)，總的來說，記得知 識點不是難事，但是一定要注意同時把某一知識點對應(yīng)的適用條件也掌握好！只有同c時把這兩方面把握住了，概念這一塊才算過關(guān)，才算打好了基礎(chǔ)。接下來是運算能力。
這里所說的運算能力包括速度和準確率兩個方面，我以前在高中的時候就吃過這 方面的虧，一張數(shù)學卷子發(fā)下來，題目都會做，都有思路，但是一做起來就漏洞百 出，總有地方出錯，結(jié)果時間自然不夠。歸根結(jié)底就是因為自己平時從來不練，看到 一道題，先想思路，如果方法上沒有什么障礙的話就認為不會有問題了，其實事實上 如果真的動手去做很可能發(fā)現(xiàn)并非想象那么簡單。進大學以后我就時常注意在學習的 同時多練習，因為我是著手準備考研比較早的，所以時間上比較充裕，光高等數(shù)學部 分來說大概做了約6000道習題，線性代數(shù)和概率統(tǒng)計沒有這么多，基本就是書后習題 加陳文燈復(fù)習指導(dǎo)的書后題目，畢竟高數(shù)是最占分量的部分。我的建議是：書后習題 不用全做，因為拿高數(shù)書來說，每章后邊的習題都是分大題小題的，一道大題可能有 若干小題，那么這些小題基本算上同一類的，有選擇性的做就可以了，注意把不同類 型的題目都涉及到就差不多了，然后是陳文燈或者其它復(fù)習參考書后的習題。下面總 結(jié)了一些我個人覺得比較重要的運算方面的內(nèi)容：求極限、求導(dǎo)數(shù)、求高階導(dǎo)數(shù)、求 不定積分、求向量的點積和叉積、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則、行列式或矩陣的初等變 換、矩陣的乘法，基本上就這些吧，一定要練到熟得不能再熟，基本不出錯的地步。
運算速度到后期顯得比較重要，因為沖刺階段都是要整張卷子的做，這時不僅要分配 好各部分題目的時間，而且要確保能在預(yù)計的時間里完成相應(yīng)的任務(wù)，否則會對個人 的情緒產(chǎn)生影響，考研數(shù)學九道大題，至少應(yīng)該留兩個小時來做，我個人覺得比較好 的時間分配是：選填題45分鐘，解答題2小時。最后是綜合分析的思維方法。
由于考研數(shù)學的知識點涉及面很廣，而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的，那很 自然會在綜合要求上有所提高，試想一道僅涉及求導(dǎo)數(shù)的題目和一道把求導(dǎo)、極值和 空間解析幾何結(jié)合起來的題目哪個更容易作為考題？舉個例子，陳文燈的臨考演習里 有一道題目是在橢球面上找一點，使過該點的切面與三坐標面所夾的幾何體體積最 大，這就是一道很好的綜合題目。再比如，作為聯(lián)系重積分和曲線（曲面）積分的橋 梁，格林公式、高斯公式或斯托克斯公式幾乎是每年必挑一個來考，原因很簡單，這 樣子一道題目就可以覆蓋兩大塊知識點，對命題人來說這是最好不過的了。
還有一些數(shù)學上的思想方法：分類討論、數(shù)形結(jié)合、微元分析等。
因為高等數(shù)學 里面函數(shù)的地位是很重的，所以很有必要熟悉一些常用函數(shù)的性態(tài)，在涉及到此的時 候最好能數(shù)形結(jié)合，便于分析，而且不要僅限于直角坐標的，極坐標下某些曲線的圖 形也應(yīng)該掌握，比如星形線、對數(shù)螺線等，如果把對象擴大到空間坐標系，那還有各 種旋轉(zhuǎn)面、柱面、錐面等，要會寫它們的柱坐標或者球坐標方程，這在求重積分的時 候是重要的解題手段。在涉及到利用對稱性時，數(shù)形結(jié)合有助于分析。至于分類討 論，線性代數(shù)用得比較多，尤其是在涉及線性方程組的題目時，對于未知參數(shù)常常需c討論取值。微元分析可謂是大學數(shù)學里最重要的思維方法了，不僅數(shù)學要用到，很多 后續(xù)課程都要用到，具體的思路大家可以參考定積分的應(yīng)用部分，書上也有很多具體 例子，就不詳細解釋了，因為它實在是太有用了，所以我個人覺得必須熟練掌握。
還 有一些數(shù)學上的思想方法：分類討論、數(shù)形結(jié)合、微元分析等。因為高等數(shù)學里面函 數(shù)的地位是很重的，所以很有必要熟悉一些常用函數(shù)的性態(tài)，在涉及到此的時候最好 能數(shù)形結(jié)合，便于分析，而且不要僅限于直角坐標的，極坐標下某些曲線的圖形也應(yīng) 該掌握，比如星形線、對數(shù)螺線等，如果把對象擴大到空間坐標系，那還有各種旋轉(zhuǎn) 面、柱面、錐面等，要會寫它們的柱坐標或者球坐標方程，這在求重積分的時候是重 要的解題手段。
在涉及到利用對稱性時，數(shù)形結(jié)合有助于分析。至于分類討論，線性 代數(shù)用得比較多，尤其是在涉及線性方程組的題目時，對于未知參數(shù)常常需討論取 值。微元分析可謂是大學數(shù)學里最重要的思維方法了，不僅數(shù)學要用到，很多后續(xù)課 程都要用到，具體的思路大家可以參考定積分的應(yīng)用部分，書上也有很多具體例子， 就不詳細解釋了，因為它實在是太有用了，所以我個人覺得必須熟練掌握�？佳欣锏� 應(yīng)用題就是一個從實際問題到數(shù)學模型的建模過程，然后再對這個數(shù)學模型求解，那 么如何建立？
一般就都是用微元法分析了，比如求面積、體積、弧長、變力作功、流 量等等等等，從根本上來說都是相通的。有時還會結(jié)合極值問題，分一元函數(shù)和多元 函數(shù)的極值兩部分，多元函數(shù)有有條件極值和非條件極值，我做過一道模擬題，覺得 出得相當?shù)暮�，是先給一個隨機變量，要求其參數(shù)的估計值，首先要求無偏，實際上 這就給出了一個限制條件，然后要求最優(yōu)，這時就成為了一個多元極值問題且是條件 極值，這道題目把概率論和高數(shù)的內(nèi)容串了起來，其實在復(fù)習的過程中見到此類綜合 題可以有意識的記下來，時常翻閱，體會出題者的心思。說了那么多，都是在說哪些是重要的，哪些是要掌握的，那么自然就有與之相對 應(yīng)的一些部分，這些部分我稱為“邊緣內(nèi)容”，這些內(nèi)容基本上是隔幾年來才出一道 選擇題或者填空題，大題是肯定不會涉及的。我自己總結(jié)如下：漸近線、3階及以上的 高階導(dǎo)數(shù)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、傅立葉級數(shù)、二元函數(shù)的泰勒公式、歐拉方程、范德蒙 行列式、二維正態(tài)分布、大數(shù)定理、中心極限定理、契比雪夫不等式、區(qū)間估計、假 設(shè)檢驗，正如考綱上寫的，這些東西了解就可以了。至于空間解析幾何部分和不等式 兩塊內(nèi)容，考研一般不會正面涉及，一般是要求將其作為工具掌握，也就是作為其它 題目中的一個部分來考查，沒見到過大題專門出過空間解析幾何（如求公垂線方程） 和證明不等式的。還是那句話，因為內(nèi)容多，為避免煩躁情緒過早出現(xiàn)，在第一遍復(fù) 習時應(yīng)該先集中精力突破重要的和占分點多的部分，之后再來解決邊緣內(nèi)容，而且面 對它們時大可不必有壓力。剩下就是一些易混淆點了，比如在單變量函數(shù)時，可導(dǎo)必能推出連續(xù)并且可導(dǎo)和 可微等價，但在多變量函數(shù)時就算偏導(dǎo)數(shù)都存在也不一定可微，條件加強為偏導(dǎo)數(shù)連 續(xù)。線性代數(shù)里面的幾個概念，等價（與相抵說法同）、相似、合同之間相互有無關(guān) 系？比如等價是否一定相似，相似是否一定合同，反過來呢？這些一定要搞清楚，不 能一知半解。我說過最好要掌握原理，而不需要強記，個人覺得這兩者是結(jié)合起來的c吧，能掌握原理的就掌握原理，實在不能在短時間內(nèi)掌握再強記。前邊提到了公式和 定理，其實基本概念里還有一個內(nèi)容：定義。我學習的過程中就是把定義作為掌握原 理的出發(fā)點的，拿上面的例子來說，何謂等價？何謂相似？何謂合同？
把這些說法用 數(shù)學語言嚴格的表示出來就是定義，然后再分析相互之間有甚聯(lián)系。
考研數(shù)學中會出 現(xiàn)一些考察說法的選擇題，這類題就是專撿那些易混淆部分來考的，無孔不入，大家 可以翻翻歷年真題看看。最后我結(jié)合05年真題，也就是自己在考場上做過的這張卷子，談?wù)勛约簩衲暝?題的看法。題目就不寫了，可以對照原題來看，現(xiàn)在應(yīng)該都出了，就說說對其考查知 識點的看法吧�？偟膩碚f，今年的數(shù)學一真題再次驗證了“考研注重基礎(chǔ)”的說法， 沒有偏題怪題，我此前提過一個“1：2：7”的說法，1為難題、2為簡單題、7為中等 題，這幾年考題的結(jié)構(gòu)差不多是按這個比例來的。
填空第一道求漸近線，03年有傅立葉級數(shù)，04年有歐拉方程，邊緣內(nèi)容一般就是 一道小題，漸近線容易求，但是別被迷惑，此題給的函數(shù)有兩條漸近線，而要求的是 斜漸近線，當然后來聽說也有人兩條都寫了上去，總之看題還是仔細些吧。第二題求 解微分方程，等式兩邊變形為一階線形微分方程，不過非齊次的要用常數(shù)變易法，注 意運算不要出錯即可。第三道求方向?qū)?shù)，這里提一下，多元積分那部分出現(xiàn)了很多 概念，如方向?qū)?shù)、梯度、通量、散度、環(huán)流量、旋度，要搞清楚它們的相互關(guān)系， 方向?qū)?shù)和梯度，通量和散度，環(huán)流量和旋度，方向?qū)?shù)是一個數(shù)，而梯度是一個向 量，此題先求梯度再得方向?qū)?shù)。第四題是高斯公式的直接應(yīng)用，直接根據(jù)已給方程 確定積分區(qū)域，注意區(qū)域是否封閉，還有必須是外側(cè)，內(nèi)側(cè)就要在整個結(jié)果前添負 號，這些都是細節(jié)，如果題目中稍有變化，如果不注意就要吃虧了。
第五題求行列 式，由于是抽象行列式，必須利用好已知量和待求量之間的關(guān)系，這就是前邊說要熟 練掌握行列式的初等變換的原因，如果利用矩陣的形式來寫出它們的關(guān)系則更一目了 然，再利用"乘積的行列式等于行列式的乘積"就好解決得多了，所以說考研題一般不 會單單局限于一個知識點，通常都是跨章節(jié)的。最后一題求某概型的概率，先分類討 論，再用全概率公式求得。選擇第一道也是要分類討論，根據(jù)自變量不同的取值范圍得出對應(yīng)區(qū)間上的函 數(shù)表達式，然后在判斷可導(dǎo)或不可導(dǎo)點，類似的題目在高數(shù)課后練習上就有了的，但 我居然選錯了，令我事后郁悶不已，所以在考場上保持高度精神集中是很必要的，這 需要大量的模擬沖刺練習來支撐。
第二道是上面提到過的說法題，如果記得這個結(jié)論 是可以直接選的，但大多人不會記得這么清楚，一般只能很快排除后兩項，那么a、b 到底哪個對？別忘了原函數(shù)求出來是帶任意積分常數(shù)c的，而奇函數(shù)是要求過原點的， 這樣由于b選項中常數(shù)的任意取值不能確保原函數(shù)一定過原點，所以不一定為奇函數(shù)， 這樣就排除了強干擾項。第三道要求二階偏導(dǎo)數(shù)，由于是復(fù)合函數(shù)，計算需萬分小 心，只要不出錯就能順著得出答案。第四道是05年新增考點，隱函數(shù)存在定理，這里c要提的就是，每年的新增考點一般都必考，所幸數(shù)學一般每年變化也就在一兩個知識 點，等今年考綱出來注意一下就行了。第五題是線代里特征值和特征向量的問題，注 意不同的特征值對應(yīng)的特征向量一定線性無關(guān)，把這個結(jié)論用起來就好辦了，剩下就 是一類典型題，由已知一組向量線性無關(guān)推導(dǎo)另一組向量線性無關(guān)，且兩組向量間有 一定關(guān)系，這樣的練習在書上隨處可見。
第六道涉及矩陣的初等變換，其實在初等變 換一章講過將一個矩陣進行初等變換相當于乘以一個對應(yīng)的初等矩陣，把題目中的說 法都翻譯成數(shù)學語言，剩下的就是數(shù)學上的變換了。第七題考了二維隨機變量，實際 上充分利用好其若干性質(zhì)就可以了，就是注意把獨立性用進來。最后一題是數(shù)理統(tǒng)計 里的常用的抽樣分布及其變形，如果記得就非常簡單，把選項一個一個拿來對應(yīng)分析 就可以了，出題人真是用心險惡，把正確項設(shè)在最后一個……當然如果一眼能看出對 的來就不用再算別的了，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材第六章提到的幾個抽樣分布很難記， 容易混淆和忘記，只能靠多看來加強記憶了。然后是解答題。
第一道求兩重積分，但涉及面并不單一，被積函數(shù)需要根據(jù)積分區(qū)域進行拆分， 其實就是一個分類討論的思想，關(guān)鍵是一上來千萬別被那個取整函數(shù)嚇到，冷靜分析 后就發(fā)現(xiàn)其實不難，就形式上陌生一些而已。
第二道是先求收斂域再求和函數(shù)，前一部分簡單，難在后一部分，求和函數(shù)時要 用兩次逐項積分求導(dǎo)的方法，計算計較煩，而且要求積分的功底比較好，否則就算知 道怎么做也不一定能順利完成。順便提一下吧，五個常用函數(shù)的級數(shù)展開式一定要爛 熟于心，等比級數(shù)、指數(shù)函數(shù)、兩個三角函數(shù)和二項展開式，而且不要忘了對應(yīng)的收 斂域。
第三道可以算是應(yīng)用題，簡單，直接用牛――萊公式，分布積分得結(jié)果。
第四道是中值定理方面的證明題，這類題最有效的辦法就是用“原函數(shù)法”，即 先令要求證的等式為一個新的函數(shù)，想辦法找出這個新的函數(shù)的原函數(shù)，看其是否滿 足某些中值定理的條件（一般都滿足），然后就是順利成章的應(yīng)用定理了。突破點在 于構(gòu)造出合適的函數(shù)，這方面也要求平時復(fù)習時注意積累。還有就是分兩問或者三問 的題目，注意把前一問的結(jié)論用起來，后一問的難度就下降了。
第五道是我個人覺得整張卷子最難的一道題，我丟分基本就丟在這道吧，相關(guān)知 識點是格林公式、微分方程。第一問證明結(jié)論，如果看過（大致記得）格林公式的證 明過程的話，就會比較有頭緒，采取補封閉曲線的方法就可以得到結(jié)論，注意曲線方 向的協(xié)調(diào)一致。然后利用格林公式得到一個微分方程，求解即可，但求解過程很煩， 我最后是通過觀察法把未知函數(shù)先看出來的，然后在拼湊上去，估計失分就在這里 吧。
接下來是線性代數(shù)的兩道題，第一道涉及的知識點多，從特征值到二次型，但非 常簡單，計算也不是很煩，唯一要注意的就是特征向量求出后別忘了單位化，其它沒 什么好說的。第二道題出得很新穎，這是我唯一在考前沒有見過的題型，還是利用分c類討論的思想，把未知參數(shù)的取值討論一下，因為矩陣的秩有所不同的話，線性方程 組的解的形式也隨之不同，如果知道這個常用結(jié)論：如果ab=0，則r（a）+r（b）<=n，這 個題目難度就去了一大半，接下來只要討論里不要遺漏就可以了。所以說，常總結(jié)一 些雖然不是書上的直接定理，但是很有用的結(jié)論是有必要的，因為其實就像上邊這個 結(jié)論，也不難記。
最后是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，第一道是二維隨機變量的分布函數(shù)和概率密度。
如果 搞清楚了隨機變量函數(shù)的意義，根據(jù)已知條件，這個模型不難建立，還是回到原理這 個說法上，概率論的東西比較抽象，但是如果多思考一下，從現(xiàn)實意義上把握的話可 能會輕松一些。隨機變量是什么？從根本上來說就是一個函數(shù)，只不過自變量不是通 常的數(shù)，而是一些事件，函數(shù)值就是這些事件對應(yīng)的發(fā)生概率而已。在求函數(shù)的隨機 變量分布時我不主張記公式，而建議自己從隨機變量的說法、定義去推出數(shù)學表達 式。第二道考數(shù)字特征，當然也把數(shù)理統(tǒng)計里的樣本揉進來了，樣本之間意味著相互 獨立，注意數(shù)字特征的某些特征要求隨機變量之間相互獨立，有些則不然，總之要分 清這些性質(zhì)，最好能準確歸類。舉個例子，兩個正態(tài)分布的線性組合仍是正態(tài)分布， 這對不對？
