篇一：定積分計(jì)算方法總結(jié)
一、 不定積分計(jì)算方法
1. 湊微分法
2. 裂項(xiàng)法
3. 變量代換法
1) 三角代換
2) 根冪代換
3) 倒代換
4. 配方后積分
5. 有理化
6. 和差化積法
7. 分部積分法（反、對(duì)、冪、指、三）
8. 降冪法
二、 定積分的計(jì)算方法
1. 利用函數(shù)奇偶性
2. 利用函數(shù)周期性
3. 參考不定積分計(jì)算方法
三、 定積分與極限
1. 積和式極限
2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限
3. 洛必達(dá)法則
4. 等價(jià)無(wú)窮小
四、 定積分的估值及其不等式的應(yīng)用
1. 不計(jì)算積分，比較積分值的大小
1) 比較定理：若在同一區(qū)間[a,b]上，總有
f(x)>=g(x),則 >= ()dx
2) 利用被積函數(shù)所滿足的不等式比較之 a)
b) 當(dāng)0<x<兀/2時(shí)，2/兀<<1
2. 估計(jì)具體函數(shù)定積分的值
積分估值定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且其最大值為M，最小值為m則
M(b-a)<= <=M(b-a)
3. 具體函數(shù)的定積分不等式證法
1) 積分估值定理
2) 放縮法
3) 柯西積分不等式
≤ %
4. 抽象函數(shù)的定積分不等式的證法
1) 拉格朗日中值定理和導(dǎo)數(shù)的有界性
2) 積分中值定理
3) 常數(shù)變易法
4) 利用泰勒公式展開(kāi)法
五、 變限積分的導(dǎo)數(shù)方法
篇二：定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)
(1) 定積分的定義：分割?近似代替?求和?取極限
(2)定積分幾何意義：
①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積 ab
②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相a
反數(shù)
(3)定積分的基本性質(zhì)：
①kf(x)dx=kf(x)dx aabb
②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac
(4)求定積分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb
①定義法：分割?近似代替?求和?取極限 ②利用定積分幾何意義
’③微積分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba
篇三：定積分計(jì)算方法總結(jié)
1、原函數(shù)存在定理
●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
●分部積分法
如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。
2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。
定積分
1、定積分解決的典型問(wèn)題
(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
2、函數(shù)可積的充分條件
●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。
●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。
3、定積分的若干重要性質(zhì)
●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。
●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、關(guān)于廣義積分
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a
定積分的應(yīng)用
1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)
●直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))
●極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
●旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)
●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)
●功、水壓力、引力
●函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)∫abf(x)dx)
篇四：定積分計(jì)算方法總結(jié)
一、不定積分的概念和性質(zhì)
若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數(shù)不可丟！
性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性質(zhì)2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性質(zhì)3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本積分公式或直接積分法
基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(為常數(shù)且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C（）1x2arcsinxC（arccosxC）
直接積分法：對(duì)被積函數(shù)作代數(shù)變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數(shù)變形主要是指因式分解、加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。
三、換元積分法：
1.第一類換元法（湊微分法）
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常見(jiàn)湊微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況：
若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；
(3)一般選擇“簡(jiǎn)單”“熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫成(x)；
(4)若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；
2.第二類換元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:
(1) 對(duì)被積函數(shù)直接去根號(hào);
(2) 到代換x1; t
(3) 三角代換去根號(hào)
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(xx，x
asect
f(xx，xasint
f(xx，xatant f(ax)dx，ta
x
f(xx，t
三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的選取原則：按“ 反對(duì)冪三指” 的順序，誰(shuí)在前誰(shuí)為u，后面的為v;
(2)uvdx要比uvdx容易計(jì)算；
(3)適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：
arcsinx1dx，
u
v
(4)多次使用分部積分法： uu求導(dǎo) vv積分（t；
篇五：定積分計(jì)算方法總結(jié)
一、原函數(shù)
定義1 如果對(duì)任一xI，都有
F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx
則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。
例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 [ln(xx2)
原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對(duì)任一xI，有F(x)f(x)。
注1：如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。
設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則[F(x)C]f(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。
注2：如果F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C（C為常數(shù)）
注3：如果F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）可表達(dá)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。
1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。
二、不定積分
定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。
如果F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則
f(x)dxF(x)C，（C為任意常數(shù)）
三、不定積分的幾何意義
圖 5?1 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動(dòng)而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有互相平行的切線，其斜率都等于f(x)．
在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)F(x)C，再?gòu)闹写_定一個(gè)滿足條件 y(x0)y0 (稱為初始條件)的原函數(shù)yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線．
四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)）
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（
五、基本積分表
∫ a dx = ax + C，a和C都是常數(shù)
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
六、第一換元法（湊微分）
設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx
即F[(x)]為f[(x)](x)的原函數(shù)，或
f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有
定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則
f[(x)](x)dx[f(u)du]
公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb
篇六：定積分計(jì)算方法總結(jié)
摘要:結(jié)合實(shí)例分析介紹了不定積分的四種基本計(jì)算方法。為使學(xué)生熟練掌握,靈活運(yùn)用積分方法,本文將高等數(shù)學(xué)中計(jì)算不定積分的常用方法,簡(jiǎn)單進(jìn)行了整理歸類。
關(guān)鍵詞:積分方法 第一類換元法第二類換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對(duì)不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運(yùn)算方法,不但能使學(xué)生進(jìn)一步鞏固前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí),而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了很多的變化,從有限到無(wú)限,從確定到不確定,計(jì)算結(jié)果也可能不唯一,但計(jì)算方法與計(jì)算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計(jì)算中體會(huì)的淋漓盡致。對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類,不但使其計(jì)算方法條理清楚,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。
1 直接積分法
直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e分表中能直接計(jì)算的公式,利用積分運(yùn)算法則,在逐項(xiàng)積分。
一、原函數(shù)與不定積分的概念
定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)或dF
f(x)
(x)f(x)dx
,則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)
定義2.函數(shù)
f(x)的全體原函數(shù)F(x)C叫做f(x)的不定積分，，記為:
f(x)dxF(x)C
f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)
“
其中
”叫做積分號(hào)
二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式
性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即
f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.
性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即
f(x)dxf(x)C,
或df(x)f(x)C
性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)，即
kf(x)dxkf(x)dx
(k0).
性質(zhì)4. 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
基本積分公式
(1)kdxkxC(k為常數(shù))
(2)xdx
1
1
x
1
C
(1)
1
(3)xlnxC
x
(4)exdxexC
(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)
11x
11x
2
(5)a
x
dx
a
x
lna
C
(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC
(11)
cscxcotxdxcscxC
(13)cscxdxlncscxcotxC (15)
1x
2
2
xarctanxC
xarcsinxC
xarcsinxC
三、換元積分法和分部積分法
定理1. 設(shè)(x)可導(dǎo)，并且f(u)duF(u)C. 則有
f[(x)](x)dxF(u)C
湊微分
f[(x)]d(x)
令u(x)
f(u)du
代回u(x)
F((x))C
該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設(shè)x數(shù)F
(t)是可微函數(shù)且(t)0，若f((t))(t)具有原函
(t)，則
xt換元
fxdx
fttdt
積分
FtC
t
1
x
回代
1
FxC.
該方法叫第二換元積分法
