高一函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)?x∈A}叫做函數(shù)的值域。

2、函數(shù)定義域的解題思路：

⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。

⑶對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于0。

⑷指數(shù)對(duì)數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。

⑸指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。

⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義。

3、相同函數(shù)

⑴表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

⑵定義域一致，對(duì)應(yīng)法則一致。

4、函數(shù)值域的求法

⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡(jiǎn)單的由初等函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的函數(shù)。

⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。

⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測(cè)未知函數(shù)的值域。

5、函數(shù)圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。

⑶對(duì)稱變換：高中階段不作要求。

6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)。

⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

7、分段函數(shù)

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。

⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。

⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

8、復(fù)合函數(shù)：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,則，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)

1、函數(shù)的局部性質(zhì)??單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)，d是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)="">f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路

?在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

?做差值f(x1)-f(x2)，并進(jìn)行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾?fù)的形式。

?判斷變形后的表達(dá)式f(x1)-f(x2)的符號(hào)，指出單調(diào)性。

⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”；多個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。

⑶注意事項(xiàng)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。

2、函數(shù)的整體性質(zhì)??奇偶性

對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。

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⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)

?無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

?奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

⑵函數(shù)奇偶性判斷思路

?先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)。

?確定f(x)和f(-x)的關(guān)系：

若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)；

若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。

3、函數(shù)的最值問題

⑴對(duì)于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。

⑵對(duì)于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題

?判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接?，若不在區(qū)間內(nèi)，則接?。

?若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時(shí)，頂點(diǎn)為最小值，a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠(yuǎn)近，離頂點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)的函數(shù)值，即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。

?若二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性

若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；

若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

高一數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)

1、指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)

注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a,b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：

a>1時(shí)，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時(shí)，最小值f(b)，最大值f(a)。< p="">

⑵對(duì)于任意指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

2、對(duì)數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a≠1))，叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。

⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(diǎn)(1,1)。

⑵a>0時(shí)，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。

⑶a<0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。

當(dāng)x從右側(cè)無限接近原點(diǎn)時(shí)，圖像無限接近y軸正半軸；

當(dāng)y無限接近正無窮時(shí)，圖像無限接近x軸正半軸。

冪函數(shù)總圖見下頁(yè)。

4、反函數(shù)：將原函數(shù)y=f(x)的x和y互換即得其反函數(shù)x=f-1(y)。

反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。