三角函數(shù)知識點解題方法總結(jié)
一、見“給角求值”問題,運用“新興”誘導(dǎo)公式 一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間(-90o,90o)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);
2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);
4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、見“sinα±cosα”問題,運用三角“八卦圖”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y+x=0的上方(或下方);
2.sinα-cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內(nèi);
4.|sinα|<|cosα|óα的終邊在Ⅰ、Ⅳ區(qū)域內(nèi).
三、見“知1求5”問題,造Rt△,用勾股定理,熟記常用勾股數(shù)(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符號看象限”。
四、見“切割”問題,轉(zhuǎn)換成“弦”的問題。
五、“見齊思弦”=>“化弦為一”:已知tanα,求sinα與cosα的齊次式,有些整式情形還可以視其分母為1,轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α.
六、見“正弦值或角的平方差”形式,啟用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;
2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
七、見“sinα±cosα與sinαcosα”問題,起用平方法則:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ”問題,啟用變形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???
九、見三角函數(shù)“對稱”問題,啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系:(A≠0)
1.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象,關(guān)于過最值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱;
2.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象,關(guān)于其中間零點分別成中心對稱;
3.同樣,利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+φ)和函數(shù)y=Acot(wx+φ)的對稱性質(zhì)。
十、見“求最值、值域”問題,啟用有界性,或者輔助角公式:
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.
十一、見“高次”,用降冪,見“復(fù)角”,用轉(zhuǎn)化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
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三角函數(shù)模型歸納
有關(guān)三角函數(shù)的運算,當只出現(xiàn)一個未知角,但伴隨與特殊角的組合或多種三角函數(shù)綜合使用使三角運算豐富多樣,要解決這些問題,我們需要掌握一個基本原則,那就是“化簡”,使用的公式包括同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式.
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式有兩個:sin2α+cos2α=1,tanα=sinα
cosα在使用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的時候需
要注意:(1)多種函數(shù)同時出現(xiàn)時,要正切化弦;(2)正余弦互求時,通過角的范圍確定正負.誘導(dǎo)公式比較多,總的口訣是:“奇變偶不變,符號看象限”,其中“奇偶”是指在未知角上附加的角是π2的多少倍,如果是奇數(shù)倍,名稱需要改變,如果是偶數(shù)倍,名稱不改變;“符號看象限”是指借助當未知角為銳角時,組合角所在象限所決定的三角函數(shù)的正負,來確定是否添加負號.例如sin(π2+α)中,未知角α上附加的角符號看象限是π2的一倍
三角函數(shù)解題心得技巧
理解記憶,結(jié)合圖像理解,開始慢點寫,一步一步來,建系、畫圖,甚至描點之類的。了解為什么要這么做,這么做有什么好處。然后記憶公式,多做題目,也別盲目做題,要做那些經(jīng)典例題,1-2題,到位就行了,理解就夠了,做多了反而浪費時間。
三角函數(shù)要記住三角恒等變換的一些式子,最好記下和差化積、積化和差公式(記不住不是什么大問題),記住輔助角公式,然后在腦海中自然建立模型。知道平移之類的,就差不多夠了。最值問題就是[-1,1]最常見啦。
技巧追求的太多就發(fā)現(xiàn),最終所有的技巧都來源于熟練和思考,而別人指點的技巧用處不大。我是數(shù)學(xué)老師。如果硬說技巧,首先公式和函數(shù)圖象要非常熟悉,這樣才能在用的時候自然聯(lián)想到該題是沖著哪個公式出的。做題不要盲目貪多,做完了要思考,主要思考,我到底是哪里沒想到,為什么是這么想。數(shù)學(xué)主要練習(xí)的是一種思維。