數(shù)學結構
許多如數(shù)、函數(shù)、幾何等的數(shù)學對象反應出了定義在其中連續(xù)運算或關系的內(nèi)部結構。數(shù)學就研究這些結構的性質(zhì),例如:數(shù)論研究整數(shù)在算數(shù)運算下如何表示。此外,不同結構卻有著相似的性質(zhì)的事情時常發(fā)生,這使得通過進一步的抽象,然后通過對一類結構用公理描述他們的狀態(tài)變得可能,需要研究的就是在所有的結構里找出滿足這些公理的結構。因此,我們可以學習群、環(huán)、域和其他的抽象系統(tǒng)。把這些研究(通過由代數(shù)運算定義的結構)可以組成抽象代數(shù)的領域。由于抽象代數(shù)具有極大的通用性,它時常可以被應用于一些似乎不相關的問題,例如一些古老的尺規(guī)作圖的問題終于使用了伽羅理論解決了,它涉及到域論和群論。代數(shù)理論的另外一個例子是線性代數(shù),它對其元素具有數(shù)量和方向性的向量空間做出了一般性的研究。這些現(xiàn)象表明了原來被認為不相關的幾何和代數(shù)實際上具有強力的相關性。組合數(shù)學研究列舉滿足給定結構的數(shù)對象的方法。
數(shù)學手抄報封面設計圖1
數(shù)學空間
空間的研究源自于歐式幾何。三角學則結合了空間及數(shù),且包含有非常著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項式方程的解集等幾何對象的描述,結合了數(shù)和空間的概念;亦有著拓撲群的研究,結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。
數(shù)學基礎
主條目:數(shù)學基礎
為了弄清楚數(shù)學基礎,數(shù)學邏輯和集合論等領域被發(fā)展了出來。德國數(shù)學家康托爾(1845-1918)首創(chuàng)集合論,大膽地向“無窮大”進軍,為的是給數(shù)學各分支提供一個堅實的基礎,而它本身的內(nèi)容也是相當豐富的,提出了實無窮的思想,為以后的數(shù)學發(fā)展作出了不可估量的貢獻。
集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數(shù)學分支,成為了分析理論,測度論,拓撲學及數(shù)理科學中必不可少的工具。20世紀初,數(shù)學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想,把集合論稱為“數(shù)學家的樂園”和“數(shù)學思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。
數(shù)學手抄報封面設計圖2
數(shù)學邏輯
數(shù)理邏輯
數(shù)學邏輯專注在將數(shù)學置于一堅固的公理架構上,并研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果。現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論,且和理論計