電動(dòng)力學(xué)應(yīng)該是四大力學(xué)里脈絡(luò)最清晰的一門,因?yàn)樗械慕?jīng)典電磁現(xiàn)象無非就是麥克斯韋方程的解,在不同的情況我們使用麥克斯韋方程不同的寫法,這里寫四種。方程的物理意義普物電磁學(xué)已經(jīng)談過,這里不再討論。
(一) 積分形式麥克斯韋方程
積分形式的麥克斯韋方程為:
眾所周知,積分某種程度上就是一種求和或者取平均的操作(積分中值定理),積分形式麥克斯韋方程就是用在這種需要平均的地方,也就是當(dāng)電荷分布或者自由電流分布在界面上出現(xiàn)不連續(xù)的情況時(shí)。什么時(shí)候界面會(huì)出現(xiàn)電流電荷分布的不連續(xù)?也就是不同介質(zhì)的交界面上。
在一個(gè)界面上如果存在不連續(xù)的電荷分布,首先造成電場法向分量不連續(xù):
取一個(gè)薄高斯面包圍界面一點(diǎn),根據(jù)第一個(gè)麥克斯韋方程,得到不連續(xù)的值為:
再做一個(gè)環(huán)路包圍界面一點(diǎn),穿過兩種介質(zhì),可以得到電場切向分量是連續(xù)的。
對(duì)磁場如法炮制,得到法向分量是連續(xù)的(第三式),切向分量是不連續(xù)的(第四式):
統(tǒng)一以下,寫成矢量形式就是:
(二) 微分形式麥克斯韋方程
根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理,我們可以立刻把積分形式麥克斯韋方程寫成微分形式:
微分形式麥克斯韋方程+積分形式得到的邊界條件,可以解決大多數(shù)問題了,當(dāng)電磁場不含時(shí)的時(shí)候,我們要解決的就是靜電靜磁問題:
2.1 靜電場
注意到靜電場旋度是0,因此它是保守場,因?yàn)闃?biāo)量梯度的旋度總是0,所以存在標(biāo)勢Φ,滿足:
解決靜電學(xué)的方法有很多種,但無非都是疊加原理思想的運(yùn)用。
第一種是直接用庫倫定律+疊加原理。庫侖定律告訴我們,一個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢為:
對(duì)于一個(gè)給定了電荷分布的系統(tǒng),使用疊加原理
第二種是解泊松方程,在線性,各項(xiàng)同性的,均勻的介質(zhì)中,電位移矢量D和場強(qiáng)E只差一個(gè)介電常數(shù)ε:
把標(biāo)勢代入電場散度中,得到泊松方程:
在沒有電荷分布的地方,標(biāo)勢也就滿足拉普拉斯方程:
求解的方法很多,參見數(shù)學(xué)物理方法。疊加原理得到的Φ就是泊松方程的一個(gè)特解。
第三種是對(duì)特解進(jìn)行多級(jí)展開,因?yàn)樘亟獾姆e分不好求,因此把它展開成泰勒級(jí)數(shù),因?yàn)楦麟A的系數(shù)(電多級(jí)矩)是好求的,只要我們展開夠多,得到的結(jié)果就更精確:
2.2 靜磁場
磁場旋度一般不是0,因此不是保守場,但它的散度是0,因?yàn)槭噶啃鹊纳⒍瓤偸?,因此我們可以定義失勢:
于是多了一個(gè)靜電場不存在的麻煩:我們完全確定一個(gè)場,需要知道它的旋度,散度和邊界條件,靜磁場中引入了新的場A,并且知道了A的旋度,但我們不知道它的散度,也就是說引入矢勢后增加了一個(gè)方程,如果需要唯一解,我們需要為A添加新的約束條件,不同約束條件就是所謂不同的規(guī)范。靜磁場中我們選取庫倫規(guī)范為約束條件:
在非鐵磁性介質(zhì)中,H和B也是線性關(guān)系:
對(duì)磁場兩邊取旋度,得到:
在庫倫規(guī)范下,失勢A滿足泊松方程,于是回到了靜電學(xué)求解的套路,我們可以對(duì)A再來一遍。
(三) 洛倫茲規(guī)范下的麥克斯韋方程
對(duì)于微分形式麥克斯韋方程(真空為例):
因?yàn)锽散度總是0,因此失勢在非靜磁情況同樣可以接著用:
但電場已經(jīng)不保守了,接下來要重新構(gòu)造標(biāo)勢(找旋度為0的場)
把矢勢代入方程第二式
注意到一對(duì)勢A和Φ對(duì)應(yīng)了B和E,但這對(duì)勢不是唯一的,經(jīng)過規(guī)范變換,我們可以找到另外的對(duì)應(yīng)相同B和E的勢:
現(xiàn)在把勢代回麥克斯韋方程,得到:
整理一下:
現(xiàn)在我們?nèi)÷鍌惼澮?guī)范:
就得到了達(dá)朗貝爾方程:
同樣的,使用洛倫茲規(guī)范可以得到標(biāo)勢也滿足達(dá)朗貝爾方程:
所以電磁場以波的形式傳播,波動(dòng)方程的解是推遲勢(比靜電勢推遲了一點(diǎn)時(shí)間):
也就是說,電磁相互作用是有傳播速度的,即光速:
特別的,在自由空間里,特解就是平面波:
把平面波的解代入界面邊界條件,即可得到反射定律,折射定律,由能量守恒就能得到菲涅爾公式。
考慮電磁波輻射的時(shí)候,輻射源的勢進(jìn)行多級(jí)展開,就可以得到電偶極,電四極,磁偶極等貢獻(xiàn)的輻射,其中電偶極輻射占主要,磁偶極和電四極的貢獻(xiàn)在同一個(gè)數(shù)量級(jí),比電偶極小幾個(gè)數(shù)量級(jí)。
(四)張量形式的麥克斯韋方程
以下的我們會(huì)用張量的記號(hào)處理問題,詳情參見 張量分析初步。
狹義相對(duì)論中,不同慣性系之間的坐標(biāo)變換稱為洛倫茲變換,洛倫茲變換有兩個(gè)基本假設(shè):
1.光速不變
2.所有慣性系中,物理規(guī)律有相同的表達(dá)形式
洛倫茲變換中,時(shí)空被耦合在一起,因此相對(duì)論的時(shí)空是四維的,第四維度是時(shí)間,為了對(duì)其量綱,我們讓時(shí)間乘一個(gè)光速。定義協(xié)變矢量:
逆變矢量:
根據(jù)光速不變,我們能得到第一個(gè)洛倫茲不變量:時(shí)空間隔(注意求和約定)
郭碩鴻版教材把協(xié)變矢量和逆變矢量統(tǒng)一了,第四維度用乘了個(gè)i,這樣數(shù)學(xué)形式不好看,所以這里使用張量統(tǒng)一的形式。
根據(jù)假設(shè)2,我們可以得到洛倫茲變換是線性變換,根據(jù)假設(shè)一推出的時(shí)空間隔不變,我們得到線性變換的矩陣:
其中:
四維線性變換的形式為:
容易得到動(dòng)尺收縮(同時(shí)不通地)和時(shí)間膨脹(同地不通時(shí))效應(yīng):
在狹義相對(duì)論中,電動(dòng)力學(xué)是具有洛倫茲不變性的,在洛倫茲規(guī)范下,標(biāo)勢和失勢滿足達(dá)朗貝爾方程:
事實(shí)上,達(dá)朗貝爾算符就是四維下的laplacian:
如果把勢和電流密度寫成四維形式:
就可以把兩個(gè)方程和為一個(gè):
并且洛倫茲規(guī)范也可以寫成簡潔的形式:
再進(jìn)一步,我們湊出電磁場的拉格朗日量密度,把它寫成最小作用量原理的形式(拉格朗日方程),只需構(gòu)造四維張量:
拉格朗日量是標(biāo)量,所以我們要把張量變成標(biāo)量形式,最簡單的操作莫過于:
電磁場的拉格朗日量密度就出來了:
代入拉格朗日方程,我們得到麥克斯韋方程的第一個(gè)和第四個(gè)(其實(shí)是麥克斯韋方程湊拉格朗日):
第二個(gè)和第三個(gè)則滿足:
當(dāng)然,注意這個(gè)張量的上標(biāo),它是協(xié)變的:
(1)、麥克斯韋方程組的適用范圍及其物理意義
(2)、麥克斯韋方程組積分形式及其意義
這也是電磁場的變換關(guān)系。